皆さん，こんにちは．今回は3次方程式の解の公式その2です．

　この記事が皆さんの目にとまっていると言うことは, 前回の記事のアクセス数が多かったってことかな?

　素のツッコミは流して， <３次方程式の解の公式> を実際に使ってみます． 文字式で説明すると，このブログを書いている本人が混乱をするので，具体的な係数で方程式を解いていきましょう．

\( x^3-21x+20=0 \)

を考えます．因数定理を用いるとあれば，

\( x^3-21x+20=0 \\ \left( x-1 \right) \left( x^2+x-20 \right) =0 \\ \left( x-1 \right) \left( x-4 \right) \left( x+5 \right) =0 \\ x=1，4，-5 \)

と考えることができます．今回この解法は無しとして，まず前回の最後に紹介した因数分解の公式を確認しましょう．前回ご紹介した公式は

\( a^3+b^3+c^3-3abc = \left( a+b+c \right) \left( a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \right) \)

でしたね．実は，さらに因数分解ができて

\(a^3+b^3+c^3-3abc \\ = \left( a+b+c \right) \left( a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \right) \\ = \left( a+b+c \right) \left( a+b\omega+c\omega^2 \right) \left( a+b\omega^2+c\omega \right) \)

となります．ただし，\(\omega\)は\(x^2+x+1=0\)の解の1つです．誰が，何を思って，こんな式変形を思いつくのでしょうね．この等式が正しいことも，一応確認しておきますね．途中で次の\(\omega\)の性質を使います．

• \(\omega^3=1\)

• \(\omega^2+\omega+1=0\)

\( \left( a+b\omega+c\omega^2 \right) \left( a+b\omega^2+c\omega \right) \\ = a^2+ab\omega^2+ac\omega+ab\omega+b^2\omega^3+bc\omega^2+ac\omega^2+bc\omega^4+c^2\omega^3 \\ = a^2+b^2\omega^3+c^2\omega^3+\left( \omega^2+\omega \right)ab+\left(\omega^4+\omega^2\right)bc+\left( \omega^2+\omega\right)ca \\ = a^2+b^2+c^2+\left( \omega^2+\omega \right)ab+\left( \omega^4+\omega^2 \right)bc+\left( \omega^2+\omega \right)ca \\ = a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \)

　展開を頑張れば正しく成立していることがわかります．とにかく\(a^3+b^3+c^3-3abc\)は3つの一次式にいつでも因数分解できるってことです．このことから，\( x^3-21x+20 \)と\(a^3+b^3+c^3-3abc \)が同じ形に見えたら因数分解ができるんですよ．

　ここで，\(a\)を\(x\)にして，順序を変えます．

\( x^3-3bcx+b^3+c^3 \)

　ほら，似てきた．つまり，

\( \left\{ \begin{array}{l} b^3+c^3=20 \\ bc=7 \end{array} \right. \)

となる\(b\)，\(c\)をみつければ，元の方程式を因数分解できるわけです．さて，2番目の式の両辺を3乗します．すると，

\( \left\{ \begin{array}{l} b^3+c^3=20 \\ b^3c^3=343 \end{array} \right. \)

となります．気づきましたか？\(b^3\)と\(c^3\)の基本対称式の値がわかりました．このことから，\(b^3\)，\(c^3\)は\(t\)の2次方程式

\(t^2-20t+343=0\)

の解となります．ここで2次方程式の解の公式を用いると

\( t=10\pm9\sqrt{3}i \)

となります．この値に対して\(b^3\)，\(c^3\)は

\( \left( b^3，c^3 \right) = \left( 10+9\sqrt{3}i，10-9\sqrt{3}i \right) \)

として問題ありません．これより，

\( \left( b，c \right) = \left( \sqrt[3]{10+9\sqrt{3}i}，\sqrt[3]{10-9\sqrt{3}i} \right) \)

とわかります．すると，3次方程式が解けますよ！

\( x^3-21x+20=0 \\ x^3+20-21x=0 \\ x^3+b^3+c^3-3xbc=0 \\ \left( x+b+c \right) \left( x+b\omega+c\omega^2 \right) \left( x+b\omega^2+c\omega \right)=0 \\ x=-b-c，-b\omega-c\omega^2，-b\omega^2-c\omega \)

ここで，上の\(b\)，\(c\)の値を代入しましょう．

\( x=-\sqrt[3]{10+9\sqrt{3}i}-\sqrt[3]{10-9\sqrt{3}i}，-\sqrt[3]{10+9\sqrt{3}i}\omega-\sqrt[3]{10-9\sqrt{3}i}\omega^2，-\sqrt[3]{10+9\sqrt{3}i}\omega^2-\sqrt[3]{10-9\sqrt{3}i}\omega \)

さらに，\(\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)，\(\displaystyle \omega^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\)を当てはめます．

\( \displaystyle x=-\sqrt[3]{10+9\sqrt{3}i}-\sqrt[3]{10-9\sqrt{3}i}，-\sqrt[3]{10+9\sqrt{3}i}\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}-\sqrt[3]{10-9\sqrt{3}i}\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}，-\sqrt[3]{10+9\sqrt{3}i}\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}-\sqrt[3]{10-9\sqrt{3}i} \frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \)

これで解が求まったことになります．

「おい！何が “求まりました” や！」

「さっき \(x=1，4，-5\) って求めたやん！」

「似ても似つかん値やんか！」

「こんな、良く分からん式でごまかすな！」

などと言う声が聞こえてきますが，ごめんなさい．これが <タルタリア・カルダノの公式> の考え方なんです．式変形に嘘はなかったでしょう．この公式の意義は

• 代数的意義　３次方程式の解は係数の四則演算と根号で必ず表すことができる．

• 歴史的意義　虚数単位\(i\)を広めた．また，その有用性も知らしめた．

 の２つが大きいと思います．また，受験生にとっては

・大学入試で問われることがある．

 といったところでしょうか．一度は挑戦して欲しいです．なお，

\( \left( -2+\sqrt{3}i \right)^3 = -8+12\sqrt{3}i+18-3\sqrt{3}i = 10+9\sqrt{3}i \)

ですから，\(\sqrt[3]{10+9\sqrt{3}i}=-2+\sqrt{3}i\)となります．すると，

\( \displaystyle -\sqrt[3]{10+9\sqrt{3}i}\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}-\sqrt[3]{10-9\sqrt{3}i}\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \\ \displaystyle = -\left( -2+\sqrt{3}i \right)\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}-\left( -2-\sqrt{3}i \right)\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \\ \displaystyle = \frac{1+3\sqrt{3}i}{2}+\frac{1-3\sqrt{3}i}{2} \\ =1 \)

のように\(x=1\)を得られました．同様に，\(x=4，-5\)も得られます．大変でしたね．この <タルタリア・カルダノの公式> の考え方は京都医塾　円町校の授業でも扱っています．他にも歴史的，代数的に大事な考え方を扱った問題を紹介していますよ．

(2022/10/08)

　上記内容にいくつか細かい間違いがあったので修正しました。