概要

【形式・制限時間・配点】2022年度（最新の問題より）　

　形式： マークシート形式
　制限時間：90分
　配点： 100点（筆記試験の総得点は400点）

出題の傾向と特徴

　形式に加え、2018年度以降の5年分についての傾向をまとめます。

【毎年恒例の出題単元】

　色々な単元をバランスよく出題するという特徴があります。そのなかで「毎年」となると、場合の数・確率が毎年出題される単元といえます。

【頻出の出題単元】

　バランスよく出題されるため、どの単元も同じくらいの頻度で出題されます。その中で、あえてあげるのであれば、図形、整数、データの分析などは近年よく出題されています。また、図形がからむ問題はベクトルに加えてさらにもう1題出題されることも多いです。
　万遍なく出題され、どの単元の問題が難しいという傾向もないため、苦手な単元を作らないようにする必要があります。現役生の方は大変かもしれませんが、東邦大学をメインに考えている方は苦手な単元を作ることがないよう学習するようにしましょう。

【制限時間に対する問題量】

　大問10題に対して90分、つまり1題あたり9分しかありません。いくらマークシート方式とはいえ計算の負荷はかなり大きいです。
　そのため、どの単元においても、➀問題を見てパッと解法が分かるようにする、➁典型問題の計算が素早くできる、ことが重要になります。ですから、各単元の内容が「分かる」だけでは不十分で、「できる」（それも「素早くできる」）ようになるまで繰り返し復習をする必要があります。また、問題の取捨選択を素早くする必要もあります。これらは、アウトプットの訓練が必要です。

【第１問　二次曲線】（難易度：易）

　楕円の定義と焦点についての問題です。参考書の例題でありそうなレベルの問題ですので、これは素早く正解したいです。

　数学を得点源にしたい受験生…素早く完答したい
　数学以外を得点源にしたい受験生…素早く完答したい

【第２問　二次関数の共有点】（難易度：易）

　共有点を(\(a\),\(0\))などと文字でおいてやり、連立方程式を解くだけです。途中で\((a+2)(2k+3)=0\)がでてくるので、\(a={-2}\)のときと\(k\)=\(\frac{-3}{2}\)のときをそれぞれ調べましょう。

　数学を得点源にしたい受験生…素早く完答したい
　数学以外を得点源にしたい受験生…素早く完答したい

【第３問　積分方程式】（やや易）

　積分区間に変数を含まないタイプの積分方程式です。\(\int_{0}^{1}f(t)dt\)＝\(a\)と置いて、\(f(x)\)の式をつくり、置いた式に代入するだけです。途中サ～スだけが抜き出されて聞かれていますが、典型的な置換積分の形ですので、素早く計算しましょう。

　数学を得点源にしたい受験生…素早く完答したい
　数学以外を得点源にしたい受験生…完答したい

【第４問　確率漸化式】（難易度：標準）

　確率漸化式の問題なのですが、漸化式の立式について問われており、確率そのものを求める必要はありません。
　\(P_1\)は全員正答したいですね。余事象の確率を考えて、左端の青いカードと白いカードを入れ替えたときの確率\(\frac{3}{10}\)を1から引くと計算しやすいと思います。後半は推移図を描けば問題なく立式できます。推移図が描けないようなら、時間制限が厳しいことを考えてとばしてしまいましょう。
　数学を得点源にしたい受験生…完答したい
　数学以外を得点源にしたい受験生…\(P_1\)は求めたい

 【第５問　空間図形】（難易度：標準）

　3点\(P\)、\(Q\)、\(R\)の座標から△\(PQR\)は1辺の長さが\(\sqrt{2}\)の正三角形と分かるので、ク～ケは確実に正解しましょう。
　後半のコ～サは原点を頂点とし、円\(C\)を底面とする円錐をイメージできるかがポイントです。円錐がイメージできれば、底面の円の中心と頂点を通る平面で断面図を描いてやり、三平方の定理で求めることができます。

　数学を得点源にしたい受験生…完答したい
　数学以外を得点源にしたい受験生…円\(C\)の半径は求めたい

【第６問　数列】（難易度：標準）

　前半のシ～スは場合の数の問題です。初項\(14\)、公差\(-3\)の数列ですから一般項は\(a_n\)=\(-3n+17\)。したがって\(-22\)は第13項になります。つまり、13個の数字から異なる2つを選べばOKです。

　後半のセ～タはこの手の問題に慣れていないと時間をとられます。13個の数字から2つ選んでかけた積の和を各項の和の2乗と考えられるかがポイントです。因数分解で共通因数をくくっているイメージですね。
　\(14(14+11+8+…+(-22))+11(14+11+8+…+(-22))+…(-22)(14+11+8+…+(-22))=(14+11+8+…+(-22))^2\)
　後はリーグ戦で使う格子図をイメージできれば考えやすいです。同じ数字同士のマスを除いて、残った2つの部分の片方をもとめられればOKです。試験時間を考えると普通に全部計算するのは危険ですので、こうした工夫を思いつくことができなければ、いったんとばしましょう。

　数学を得点源にしたい受験生…シ～スは素早く求めたい
　数学以外を得点源にしたい受験生…シ～スは求めたい

 【第７問　複素数平面】（難易度：やや易）

　複素数平面としましたが、まずは3次方程式の解を求める必要があります。\(a\)の方が\(x\)より低次ですので、\(a\)で括ってしまうと、\((2x+1)(x^2-2x+a)=0\)の形への変形ができスムーズに因数分解できます。このとき、複素数平面上で三角形が成立するには、\(x^2-2x+a=0\)の解が共役な複素数解になることを利用して図を描いてしまいましょう。後は、図形的に直角（二等辺）三角形になる条件、正三角形になる条件から方程式を立ててしまえば計算は容易です。
　2021年の久留米大学医学部の問題でよく似た問題が出題されていますので、類題演習に解いてみてもいいかもしれません。

　数学を得点源にしたい受験生…完答したい
　数学以外を得点源にしたい受験生…ア～ウまではとりたい

【第８問　三角比】（難易度：やや易）

　条件が比例式で与えられた三角比の問題で、参考書の例題でありそうなレベルの典型問題です。\(\frac{a}{2}\)=\(\frac{b}{3}\)=\(\frac{c}{4}\) =\(k\)とおいて、\(a\)、\(b\)、\(c\)をそれぞれ\(k\)の式で表してしまいましょう。そこから余弦定理を用いれば\(cosA\)を求めることが出来ます。\({k}^{2}\)で分母分子が約分できるのがポイントです。
　後半は、正弦定理を用い\(R\)を\(sinA\)で表し、内接円の半径を用いた面積を求める式から\(r\)を\(sinA\)で表せば求めることができます。

　数学を得点源にしたい受験生…素早く完答したい
　数学以外を得点源にしたい受験生…完答したい

【第９問　三角関数】（難易度：標準）

　条件に等式\(3α+β=\)\(\frac{π}{2}\)があるので、文字を減らす方向で考えていきましょう。\(β=\frac{π}{2}-3α\)を作って代入すれば、\(tan(α+β)=\)\(tan(\frac{π}{2}-2α)\)と変形できます。こうなれば、角度を\(\frac{π}{2}\)ずらす話に持ち込めますね。このとき、\(β=\frac{π}{2}-3α\)で\(β>0\)より、\(α\)の範囲を求めることを忘れないでください。あとは、計算するだけです。
　ここまで求めることができれば、後半も同様に\(β\)を消去して\(α\)の式にし、変形していくことで求めることができます。最後に相加平均・相乗平均の関係が使えることに気付けると計算がグッと楽になります。

　数学を得点源にしたい受験生…完答したい
　数学以外を得点源にしたい受験生…無理せずに、他の問題に取り組むのも可

【第１０問　平均値の定理】（難易度：やや難）

　前半は逆関数の問題です。\(x\)と\(y\)を入れ替えて計算していけば特に問題なく解けると思います。
　後半は与式に差\(f'(y)-f'(z)\)と\(y-z\)があることから、平均値の定理を使いそうだなと気づけるかどうかが鍵です。気づけなければ、速やかに他の問題に移った方がよいでしょう。ここからもそれなりに計算量がありますので、常に時間を意識しながら解くようにして下さい。

　数学を得点源にしたい受験生…ソ～タはとりたい
　数学以外を得点源にしたい受験生…他の問題に取り組みましょう

まとめ

　やはり、時間制限が厳しいことにどう対応するかが鍵になります。普段の学習の時から、こういう形を見たらこの知識を使うという知識の取り出し方を意識した学習をしておきましょう。今回で言えば、積分方程式や三角比の問題はスピーディーに手が動かなければなりません。
　さらに、計算スピードそのものも上げていく必要があります。普段からタイマー（やそうしたアプリ）を用いて自分の計算時間を意識する訓練が必要になります。

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