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2022年度杏林大学医学部の数学過去問対策・分析

2022年度杏林大学医学部の数学過去問対策・分析


このページでは「杏林大学医学部の数学」についての過去問分析コメントを紹介します。
・“医学部受験に興味がある”という方
・“杏林大学医学部”の受験を考えている方
・“杏林大学医学部の数学がどのような問題か知りたい”という方
におススメの記事となりますので、興味のある方はご一読ください。

概要

【形式・制限時間・配点】2022年度(最新の問題より) 
形式:マーク
制限時間:60分
配点:100点(筆記試験全体の配点は350点)

杏林大学医学部の数学は「60分・マーク式」という形式が続いています。
大問数については、2020年度までは10年以上4問が続いていましたが、2021年度から3問に減少しています。

出題の傾向と特徴(5年分)

形式に加え、2018年度以降の5年分についての傾向をまとめます。

【頻出の出題単元】

大問数が4だった時代は、数Ⅲからは微分・積分(面積・体積)、数Aから場合の数・確率または整数(場合の数・確率が5年中3年、整数が1年)、数Bからベクトルまたは数列(ベクトルが3年、数列が2年)で各1問ずつ、もう1問は数Ⅱ・数Ⅲから幅広く出題されるというパターンがほとんどでした。2018年度のみ、数Aからの出題がありませんでした。

2021年度は、大問数が減少した影響か、微積分は問題中の計算で少し登場する程度で、比重としては大幅に軽くなりました。

「微分・積分」については、導関数を計算する→増減表を書く→グラフの概形を図示する→面積・体積を求めるべき領域を正しく把握する→定積分を立式する→積分計算を実行する、というこの単元の問題の典型的な手順を正確に処理することが大切です。また、「 \(\displaystyle \frac{1}{6}  \) 公式」や、「\(\displaystyle \frac{1}{12}\) 公式」等の定積分に関する公式が適用できる問題が複数回出題されているので、効率的に計算するためにこれらの公式を身につけておくべきでしょう。

「ベクトル」については、出題された問題は全て空間上の図形に関するものです。丁寧に図示を行って状況把握に努める、「始点を定めて3つのベクトルで表す」といった基本方針を身につける、「共面条件」や「平面に下した垂線」などの典型的な計算処理を正確に処理する力をつける、などの対策をしておきましょう。

【制限時間に対する問題量】

制限時間60分に対して大問数4は、マークする時間や見直しの時間を差し引くと1問当たり10分強しか割けないという計算になるため、かなり厳しい設定になっています。(共通テストのⅡBと同じと思っていただければ、イメージしやすいと思います。)微積分を中心に、計算量も一定量あるため、解ける問題から手をつける、場合によっては各大問の後半は「捨て問題」を作るなどの割り切りが必要になってくるでしょう。

2021年度以降は、大問数が3に減少したため、時間に対する圧迫は多少緩和されたと言えます。

【その他の出題形式等の特徴】

① マーク式で定番の「数値を埋める」という形式だけではなく、数式やグラフの概形、図形の名称や定理の名称など、「選択肢から正しいものを選ぶ」という問題も出題されています。問題によっては消去法で絞る、当てはめてみて辻褄が合うか様子を見るなどすると、効率的に解き進められる可能性があります。
② ベクトルに限らず、空間図形や座標空間を題材にした問題が出題されています。(2021年度を除き、4箇年全てで空間図形に関連する問題が出題されています。)ベクトルについて述べた事の繰り返しになりますが、とにかく丁寧に図示することを心がけましょう。また、必要な平面だけを切り取って図示する事で、平面図形の処理に帰着させることも大切です。

2022年度(最新の過去問)の分析

ここまでは近年の傾向を見てきましたが、ここではさらに踏み込んで、最新の入試問題を具体的に分析したいと思います。
※以下、過去問をお手元にご覧になるのが理想的ですが、過去問がなくても問題なくお読み頂けます。

【第1問 三角関数・微分法(数学Ⅲ)】(易)

(1)は「2倍角の公式」と「3倍角の公式」を答える問題となっています。そのため、きちんとこれらの公式を覚えていた受験生は瞬時に答えられます。素早く計算処理を行っていくためにはこれらの公式は必要不可欠ですので、ぜひ覚えましょう。

(2)は「\(\theta\) についての三角関数の最大値・最小値」を求める問題ですが、(1)の結果を用いて\(t=\sin\theta\) とおきかえると「\(t\) についての3次関数の最大値・最小値」の問題として処理できます。しかし、最後の問題は \(\theta\) の関数として極値の個数を答える問題となっているため、\(t\) の関数として極値を考えてしまうのは誤答になります。冷静に正しい判断をする必要があるという意味で、完答は難しいと言えます。

ただし、全体を通して見ると第1問はおおむね標準的な問題で構成されていますので、素早く得点を積み重ねることができる内容と言えます。

2022年度の目標値
数学を得点源にしたい受験生…短時間で完答したい。
他教科を得点源にしたい受験生…(2)(ナ)以外を得点したい。

【第2問 微分法・積分法】(易)

(1)の前半は部分積分を用いて不定積分を求める計算問題です。後半は前半の結果を用いて「絶対値を含む関数の定積分を求める問題」となっています。いずれの問題も計算量はあるものの、難易度としては決して高くありません。不定積分で求めた原始関数を微分して元の関数に戻るかどうか確かめるなど、検算をしたり繰り返し見直しをしたりして確実に得点したい問題です。

(2)の前半は「極値に関する条件から関数 \(f(x)\) を決定する問題」です。(ツ)で問われる \(r\) の範囲を正しく求めるためには導関数 \(f'(x)\) の符号変化の様子を考察する必要がありますが、標準的な内容ですので、こちらも確実に得点したいです。

また、全体を通して見ると複数の箇所で計算工夫ができるように問題が調整されています。

\(\displaystyle \int (9x^{2}-1)e^{-3x}dx = -\frac{1}{3}(3x+1)^{2}e^{-3x}+C \) ( \(C\) は積分定数)

たとえば上記のように原始関数を因数分解しておくと定積分の計算が格段に楽になりますので、計算工夫を積極的に探すよう日頃から心がけましょう。

2021年度の目標値
数学を得点源にしたい受験生…完答したい。
他教科を得点源にしたい受験生…時間をかけて完答したい。

【第3問 図形と方程式・空間図形・ベクトル】(難)

(1)は座標平面上の三角形について内角の大小から頂点の存在範囲を考察する問題となっています。図形の性質の利用が必須の問題に思えますが、不等式で定まる領域を図示する際に等号が成り立つ場合をまず図示して境界を把握するのと同様に、まずは「内角が等しい場合」を図示すると比較的解きやすくなります。

(2)から座標空間に関して同様の考察を行う問題となり、多くの受験生にとって非常に解きづらいと容易に想像ができます。しかし(a)(b)までは(1)の問題とは独立しています。そのため「なす角が90°」を「ベクトルの内積が0」と言いかえられれば計算問題として処理できます。(c)以降は(2)(a)(b)まですべて解けていて、なおかつ解答時間が十分に余っていれば正答にたどりつくことは可能ですが、(c)に至るまでが難しいため完答は難しいでしょう。

全体を通して見ると完答は難しいですが、(1)が解けなくても(2)が解けるように、序盤が解けないときにあきらめずに解ける問題を探すだけの根気があれば0点になることはありません。

2022年度の目標値
数学を得点源にしたい受験生…(2)(b)まで得点したい。
他教科を得点源にしたい受験生…(1)(a),(2)(a)(b)を得点したい。

【総評】

空間図形について考察が必要な問題が2021年度は出題されませんでしたが、今年度は第3問で再び出題されました。しかし、第1問と第2問は数学Ⅲも含めて学習を積んできた受験生にとっては比較的得点しやすい問題となっています。

まとめ

60分のマーク式という形式を考えると、素早く正確に計算する力が必要です。
また、最短経路で解き進められるように、闇雲に計算の手を動かすだけでなく、その補助として図形やグラフを手早く図示する事を意識して学習すると良いでしょう。

京都医塾ではご相談・体験授業を随時募集しています。下記リンクからお気軽にお問い合わせください。

投稿者:福居 宏大

  • 役職
    数学科講師
  • 講師歴・勤務歴
    7年
  • 出身大学
    京都大学大学院理学研究科
  • 特技・資格
    数学
  • 趣味
    数学
  • 出身地
    数学
  • お勧めの本
    Rational homotopy theory (Graduate Texts in Mathematics) ※数学科に進学した人向けです。

受験生への一言
数学をしましょう。