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久留米大学の一般入試の過去問対策・出題傾向まとめ【数学編】

久留米大学の一般入試の過去問対策・出題傾向まとめ【数学編】

京都医塾数学科です。

このページでは「久留米大学(医学部)の数学」についての過去問分析コメントを紹介します。
・“医学部受験に興味がある”という方
・“久留米大学”の受験を考えている方
・“久留米大学の数学がどのような問題か知りたい”という方
におススメの記事となりますので、興味のある方はご一読ください。

概要

【形式・制限時間・配点】2021年度(最新の問題より) 
形式:マーク
制限時間:90分
配点:100点(筆記試験全体の配点は400点)
久留米大学の数学は2020年度, 2021年度と「90分・マーク式」という形式が続いています。(2019年度までは「90分・空欄補充型」の形式でした)
また、2016年度以降の6年間は大問数が6題と固定されています。

出題の傾向と特徴(6年分)

大問数が固定されてきた2016年度以降の6年分についての傾向をまとめます。

毎年恒例の出題単元

ここ6年間では、積分(数Ⅲ)の問題が毎年出題されています。問題の中身としては、単純な計算から面積・体積を求める問題、極限と積分が融合した問題まで、年によって様々です。難易度も年によって変動しますので、一概に完答すべしとは言い切れない状況ですが、数Ⅲ積分の標準的な問題が解けるだけの実力があれば、かなりの割合で正答できることは確かです。微分・積分の計算が苦手な受験生は、絶対的な自信が得られるまで計算演習を繰り返しましょう。また、面積や体積の計算ではグラフの図示も重要になってきます。微分して増減表を書き、必要であれば凹凸まで調べ、実際にグラフを描く、という一連の作業を体に染み込ませておく必要があります。計算やグラフの図示に長く時間をかけることはできませんから、基礎~標準レベルの問題を素早く解けるよう、定着度を高めていきましょう。

頻出の出題単元

毎年恒例の単元を除くと、数Ⅱ「図形と方程式」の単元からの出題が目立ちます。特に、円に関連する問題は頻出ですから、基本的な円の方程式の決定や直線との共有点、接線、弦の長さといった典型問題には、即座に反応して適切な解法が選択できなくてはなりません。作図に慣れておくことは必須です。
他の単元では、「数列と極限」からの出題頻度も高いです。数列の和の求め方や漸化式の基本的な変形はもちろんのこと、数列や級数の収束条件などもしっかりと把握しておきましょう。
どちらの単元も、問題の難易度としてはそこまで高くはありませんので、丁寧にかつ素早く解ききれるようにしておきたいところです。

制限時間に対する問題量

例年、基礎~標準レベルの問題が多く出題されていますが、90分の時間制限で大問6題という設定は、相当練習を重ねておかなければ、高得点を狙うことは難しいです。
計算速度だけでなく、適切な解法選択ができているかを常に気にしながら演習に取り組みましょう。また、試験開始時に全体的なペース配分を考えてから解き始めることも大事です。

2021年度(最新の過去問)の分析

ここまでは近年の傾向を見てきましたが、ここではさらに踏み込んで、最新の入試問題を具体的に分析したいと思います。
※以下、過去問をお手元にご覧になるのが理想的ですが、過去問がなくても問題なくお読み頂けます。

第1問 因数定理、複素数平面上の点と図形(易)

(1)は3次方程式の解が1つだけ分かっているときに、その式を因数分解せよという問題です。因数定理をつかって因数分解を行うだけなので、特に躓く部分はないでしょう。
(2)は、複素数平面上における解の3数が直角三角形を成す、という条件を使って、元の方程式にある文字係数を特定する問題でした。計算だけで解くよりも、図形的に処理した方が早いため、上手く図を利用しましょう。大問1は問題の分量が少なく、極めて基礎的な内容になっていますので、確実に正解したい問題です。

2021年度の目標値
数学を得点源にしたい受験生…素早く完答したい。
他教科を得点源にしたい受験生…完答したい。

【第2問 図形と方程式(数Ⅱ)】(易)

第2問は図形と方程式の単元より、円と直線の交点に関する問題でした。
(1)は円と直線が交わってできる弦の長さを求めるという問題です。
(2)はy軸と接するときの円の方程式を求める問題になっています。
どちらも典型的な問題ですが、計算がやや複雑になるため、解法の選択に手間取ることなく、無駄なく正確に解き切れるかが重要になってきます。
弦の長さ→中心と直線の距離+半径、接線→半径の利用もしくは解の条件、といった要素は見た瞬間に思い浮かぶようにしておきましょう。

2021年度の目標値
数学を得点源にしたい受験生…素早く完答したい。
他教科を得点源にしたい受験生…完答したい。

【第3問 数列と極限(数Ⅲ)】(標準)

(1)は与えられた漸化式から数列の一般項を求める問題です。一見、難しそうに感じられますが、どのように式変形すればよいのかが、あらかじめ誘導で示されているので、指示通りに変形を行いましょう。変形後は\(a_{n+1}=a_{n}+f_{(n)} \)という漸化式の基本形に収まります。
(2)前半は\(\lim\limits_{n \to \infty} (2r)^{(n+1)}\)が正の実数に収束する条件を求めよという問題です。この時点で \(2r=1\) が出てこなかった受験生は、いま一度、数列の収束条件を確認しておきましょう。後半は、(1)と上記の\(r\)で作られた式の極限を求め、対数を取るという問題です。与えられた式を計算していくと \(\lim\limits_{ \bullet \to \infty} (1+\frac{1}{ \bullet })^{ \bullet } =e\) という、自然対数の底の定義式の形が得られます。この形に気づけるかどうかが、この問題の一番のポイントです。

2021年度の目標値
数学を得点源にしたい受験生…完答したい。
他教科を得点源にしたい受験生…(1)~(2)の前半までは正解したい。

【第4問 整数(数A)】(標準)

正の約数の個数が12個であるような自然数について考える問題です。「正の約数の個数=(各素因数の次数+1)の積」の公式から考えを広げていきましょう。
(1)は2, 3だけを素因数として持つ自然数の個数ですので、上記の公式からすぐに答えが導けます。
(2)(3)は上述の正の整数の中で1番小さいもの、3番目に小さいものを答える問題です。素因数を4個以上持つ自然数は、約数が12個になることがない、ということに気づけるかが正否の分かれ目になります。ここさえクリアできれば、完答も難しくはありません。

2021年度の目標値
数学を得点源にしたい受験生…完答したい。
他教科を得点源にしたい受験生…(1)は正解したい。

【第5問 積分(数Ⅲ)】(やや難)

(1)2つの三角関数によって囲まれた領域の面積を求める問題です。各関数の式自体は簡単なものですが、これらのグラフを正確に、時間内に描けるようになるには相応の演習量をこなす必要があります。
(2)は(1)で求めた図形のx軸まわりでの回転体の体積を求める問題です。x軸を跨ぐ形の図形ですから、単純な公式への当てはめでは正しい答えが出てきてくれません。グラフの折り返しなどを利用して、効率よく計算を進めましょう。
(3)はやや発展的な内容で、y軸まわりでの回転体を扱っています。数学が得意でない受験生は、後回しにしてしまっても良い問題でしょう。

2021年度の目標値
数学を得点源にしたい受験生…(2)までは正解したい。
他教科を得点源にしたい受験生…(1)は正解したい。

【第6問 絶対値付きの関数(数Ⅲ)】(標準)

絶対値付きの2つの関数について、共有点を考える問題です。
一方は2次関数、もう一方は1次関数であり、係数に文字も含まれておりませんので、場合分けは容易です。丁寧に各場合における式を導出しましょう。共有点が分かりづらい部分があるため、正確な作図は難しいですが、大まかにどのような形になっているのかは描いておくとイメージがしやすくなります。符号間違いなどが起こらないように注意して解き進めましょう。

2021年度の目標値
数学を得点源にしたい受験生…完答したい。
他教科を得点源にしたい受験生…(1)は正解したい。

【総評】

基本的な公式、典型的な問題の解法をしっかりと頭に入れておけば解ける問題がほとんどです。解法が分からない、思いつかない、という問題があるとすれば、第3問(2)と第5問(3)くらいでしょう。合格点を取るためには、時間配分が最も重要であると考えられます。特に大問5や6は、グラフの作図や場合分けなどの要素から時間がかかる問題です。ペース配分に注意しながら解き進めましょう。

まとめ

合否を分ける一番の要素は、解法の選択と、計算の速度・精度であると考えられます。普段から、問題が解けた・解けなかったという部分だけでなく、最適な方法で解けたかどうかに焦点を当てて演習を行いましょう。また、試験開始時に全体を見通してどこから解き始めるかの判断もかなり重要になってきます。模試などを利用して、解くべき問題・そうでない問題の判断技術を養っておきましょう。

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